A = $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$ বামদিকে প্রদত্ত এ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে kA ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক কোনটি, যেখানে k একটি স্কেলার? (For the matrix A given on the left what will be the determinant of the matrix kA, where k is a scalar?)

নির্ণায়কের (Determinant) ধর্মাবলী বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যার সমাধান সহজ করতে সহায়ক। ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক সম্পর্কিত কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্মাবলী নিচে বর্ণনা করা হলো:

১. ইউনিট ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক:
একটি ইউনিট ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক সবসময় \(1\) হয়। যেমন, \(I_n\) যদি \(n \times n\) অর্ডারের একটি ইউনিট ম্যাট্রিক্স হয়, তবে \(|I_n| = 1\)।

২. দুটি সারি বা কলাম অভিন্ন হলে নির্ণায়ক শূন্য:
যদি কোনো স্কোয়ার ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি বা দুটি কলাম একই হয়, তাহলে ওই ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক শূন্য হবে। অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্সটি সিংগুলার।

৩. সারি বা কলাম বিনিময়ের ফলে নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তন:
কোনো ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি বা কলাম বিনিময় করলে নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ, ধনাত্মক নির্ণায়ক ঋণাত্মক এবং ঋণাত্মক নির্ণায়ক ধনাত্মক হয়ে যায়।

৪. সারি বা কলামের সব উপাদানকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে নির্ণায়কও ওই সংখ্যাটি দ্বারা গুণিত হয়:
যদি ম্যাট্রিক্সের একটি সারি বা কলামের সব উপাদানকে \(k\) দ্বারা গুণ করা হয়, তবে নির্ণায়কও \(k\)-গুণ বৃদ্ধি পাবে। অর্থাৎ, যদি \(A\) একটি \(n \times n\) ম্যাট্রিক্স হয় এবং কোনো এক সারিকে \(k\) দ্বারা গুণ করা হয়, তবে নতুন নির্ণায়ক হবে \(k \times |A|\)।

৫. নির্ণায়ক বিভাজনীয়:
যদি ম্যাট্রিক্সের একটি সারির প্রত্যেকটি উপাদানকে অন্য একটি সারির সংশ্লিষ্ট উপাদানের গুণফল যোগ করে গঠন করা হয়, তবে নির্ণায়ক অপরিবর্তিত থাকবে। এটি নির্দেশ করে যে, রো অপারেশনে যোগ বা বিয়োগ করা হলে নির্ণায়কের মান পরিবর্তিত হয় না।

৬. স্কোয়ার ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক শূন্য হলে তা সিংগুলার:
কোনো স্কোয়ার ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক শূন্য হলে সেটি সিংগুলার (Singular) ম্যাট্রিক্স হিসেবে বিবেচিত হয়, যার কোনো ইনভার্স (বিপরীত) ম্যাট্রিক্স নেই।

৭. নির্ণায়ক বহুগুণনের ধর্ম (Determinant of Product):
দুটি স্কোয়ার ম্যাট্রিক্স \(A\) এবং \(B\)-এর গুণফল \(AB\) হলে, তাদের নির্ণায়ক হবে \(|AB| = |A| \cdot |B|\)।

৮. ট্রায়াঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক:
যদি কোনো ম্যাট্রিক্স ত্রিভুজাকার হয় (উপরের বা নিচের ত্রিভুজ আকৃতি), তবে তার নির্ণায়ক হবে প্রধান কর্ণের উপাদানগুলোর গুণফল। অর্থাৎ, যদি \(A\) একটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স হয়, তবে \(|A| = a_{11} \times a_{22} \times ... \times a_{nn}\)।

৯. ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের নির্ণায়ক:
কোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের নির্ণায়ক মূল ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের সমান হয়। অর্থাৎ, যদি \(A\) একটি \(n \times n\) ম্যাট্রিক্স হয়, তবে \(|A^T| = |A|\)।

১০. একাধিক সারি বা কলাম যদি নির্দিষ্ট সমানুপাতিক হয়, তবে নির্ণায়ক শূন্য:
যদি ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি বা কলাম একে অপরের সমানুপাতিক হয়, তবে সেই ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক শূন্য হবে।

এই ধর্মগুলো নির্ণায়ক সম্পর্কিত গাণিতিক ক্রিয়াগুলো সহজ এবং সঠিকভাবে সম্পাদন করতে সহায়ক।